Вклады

Зачем это в ЕГЭ. Задание №16, 3 первичных балла. Вклады — второй по частоте сюжет после кредитов. Ключевое: капитализация процентов (проценты на проценты), пополнения, сравнение двух банков.

Главная идея. Капитализация: $F_n=F_0(1+r)^n$ — проценты присоединяются к телу вклада, дальше проценты считаются на увеличенную сумму. С ежепериодным пополнением $A$: $F_{k+1}=F_k(1+r)+A$. Замкнутая формула с пополнением: $F_n=F_0(1+r)^n+A\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$.

Алгоритм (чеклист).
1. Определить период начисления и ставку за этот период (не путать годовую и месячную).
2. Без пополнений: $F_n=F_0(1+r)^n$ — прямая формула.
3. С пополнениями: пошагово $F_{k+1}=F_k(1+r)+A$ или замкнутая формула (сумма геометрической прогрессии).
4. Сравнение банков: считать оба варианта до конца срока, сравнить итог.
5. Проверить: доход от вклада $=F_n-F_0-nA$ (если были пополнения $A$ каждый период).

Опоры (кратко).
- Без снятий: множитель $(1+r)^n$ — геометрический рост.
- С пополнением $A$ в конце каждого периода: $F_n=F_0(1+r)^n+A\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$.
- Простые проценты (без капитализации): $F_n=F_0(1+nr)$ — линейный рост.

Пример 1 (капитализация без пополнений). Вклад $200\,000$ р., $10\%$ годовых, раз в год, $3$ года.

Шаг 1. $F_3=200\,000\cdot1{,}1^3=200\,000\cdot1{,}331=266\,200$ р.

Шаг 2. Доход: $266\,200-200\,000=66\,200$ р.

Шаг 3. Сравнение с простыми: $200\,000\cdot(1+3\cdot0{,}1)=260\,000$ — капитализация выгоднее на $6\,200$.

Пример 2 (с пополнением). Каждый год в конце периода вносят ещё $50\,000$ р. Та же ставка $10\%$, $3$ года, начальный вклад $100\,000$.

Шаг 1. Год 1: $100\,000\cdot1{,}1+50\,000=160\,000$.

Шаг 2. Год 2: $160\,000\cdot1{,}1+50\,000=226\,000$.

Шаг 3. Год 3: $226\,000\cdot1{,}1+50\,000=298\,600$.

Шаг 4. Вложено: $100\,000+3\cdot50\,000=250\,000$. Доход: $298\,600-250\,000=48\,600$ р.

Типичные ошибки.
1. Путают годовую и месячную ставки — «$12\%$ годовых при помесячном начислении» означает $r_{\text{мес}}=1\%$, не $12\%$.
2. Забывают последнее начисление — проценты начисляются до снятия вклада.
3. Путают капитализацию с простыми процентами — при капитализации $(1+r)^n$, при простых $(1+nr)$.
4. Неверно считают число периодов — если вклад открыт в начале января и закрыт в конце декабря через 2 года, это $n=2$.

Дальше. Оптимальный выбор и полные задачи №16 в тренажёре.