Задачи на оптимальный выбор

Зачем это в ЕГЭ. Задание №16, 3 первичных балла. Задачи на оптимальный выбор — когда нужно сравнить два-три финансовых сценария или найти оптимальный параметр (ставку, срок, размер досрочного платежа). Часто требуется составить неравенство и решить его.

Главная идея. Для каждого сценария записать итоговую величину (переплата, итог вклада, количество периодов); сравнить явно. Если параметр непрерывный (ставка $r$) — составить неравенство; если дискретный (число месяцев $n$) — перебрать ближайшие к границе значения.

Алгоритм (чеклист).
1. Ясно записать, что оптимизируем: переплата, итог вклада, срок погашения.
2. Посчитать каждый вариант по формулам кредита/вклада.
3. Составить неравенство (или сравнить числа); решить относительно искомого параметра.
4. Проверить ограничения: «платёж не более $X$», «срок не менее $Y$ лет», целое число периодов.
5. Интерпретировать: ответ должен удовлетворять всем условиям задачи.

Опоры (кратко).
- Досрочное погашение снижает тело долга $\Rightarrow$ меньше процентов в следующих периодах.
- При фиксированном долге: чем короче срок, тем меньше суммарная переплата (платежи больше, но процентов набегает меньше).
- Монотонность $(1+r)^n$ по $r$ и по $n$ позволяет обойтись без полного перебора.

Пример 1 (сравнение схем). Кредит $S_0=100\,000$, $r=10\%$, $n=2$. Сравнить переплату: дифференцированный vs аннуитетный.

Шаг 1. Дифференцированный: платежи $60\,000$ и $55\,000$. Переплата: $115\,000-100\,000=15\,000$ р.

Шаг 2. Аннуитет: $P=100\,000\cdot\frac{0{,}1\cdot1{,}21}{0{,}21}=\frac{12\,100}{0{,}21}\approx57\,619$. Переплата: $2\cdot57\,619-100\,000\approx15\,238$ р.

Шаг 3. Дифференцированный выгоднее на $\approx238$ р. (при прочих равных — типичный результат).

Пример 2 (найти ставку). Вклад $100\,000$ за $2$ года превратился в $121\,000$. Найти ставку.

Шаг 1. $100\,000\cdot(1+r)^2=121\,000$, $(1+r)^2=1{,}21$.

Шаг 2. $1+r=1{,}1$, $r=0{,}1=10\%$.

Шаг 3. Проверка: $100\,000\cdot1{,}1^2=121\,000$ — верно.

Типичные ошибки.
1. Сравнивают размер платежа вместо переплаты — маленький платёж при длинном сроке может дать огромную переплату.
2. Нарушают ограничения задачи — «платёж не более $X$ в месяц» ограничивает минимальный срок.
3. Округляют промежуточно — и получают ошибку в копейках, которая ломает итоговый ответ.
4. Забывают, что число периодов целое — $n=2{,}7$ лет нужно округлить вверх до $3$.

Дальше. Полные задачи на оптимальный выбор из вариантов КИМ в тренажёре.