Уравнения с параметром

Зачем это в ЕГЭ. Задание №18, 4 первичных балла. Уравнения с параметром — классический подтип: нужно либо найти все $a$, при которых уравнение имеет заданное число решений, либо решить уравнение для всех $a$.

Главная идея. Два подхода: аналитический — привести к $f(x)=a$ и исследовать $f$ (экстремумы определяют границы для числа решений); графический — построить $y=f(x)$ и «двигать» горизонталь $y=a$. Касание ($D=0$ или $f'(x_0)=0$, $f(x_0)=a$) — граница между разным числом пересечений.

Алгоритм (чеклист).
1. Привести к виду $f(x)=a$ (если возможно) — тогда число решений = число пересечений графика $f$ с горизонталью.
2. Исследовать $f$: область определения, экстремумы, пределы на бесконечности, точки разрыва.
3. По графику: при $a<\min f$ — $0$ решений; при $a=\min f$ — касание; при $\min f<a<\text{лок. макс.}$ — количество зависит от формы.
4. Если не сводится к $f(x)=a$ — разбор по значениям $a$ (обращение $D$ в ноль, $A=0$, точки ОДЗ).
5. Собрать ответ по интервалам $a$.

Опоры (кратко).
- Если $f(x)=a$ и $f$ непрерывна, число решений меняется при $a=f(x_{\text{экстр}})$.
- Квадратное $Ax^2+Bx+C=0$: при $A\ne0$ число корней определяется $D$; при $A=0$ — линейное.

Пример 1 (графический). При каких $a$ уравнение $x^3-3x=a$ имеет три различных корня?

Шаг 1. $f(x)=x^3-3x$. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Экстремумы: $x=-1$ (лок. макс. $f(-1)=2$), $x=1$ (лок. мин. $f(1)=-2$).

Шаг 2. При $-2<a<2$ горизонталь $y=a$ пересекает график в трёх точках.

Шаг 3. Ответ: $a\in(-2,2)$.

Пример 2 (аналитический). Найти все $a$, при которых $(a-2)x^2+2(a-2)x+1=0$ имеет ровно одно решение.

Шаг 1. При $a=2$: $0\cdot x^2+0\cdot x+1=0$, то есть $1=0$ — нет решений.

Шаг 2. При $a\ne2$ — квадратное. Ровно одно решение: $D=0$. $D=4(a-2)^2-4(a-2)=4(a-2)(a-3)=0$.

Шаг 3. $a=2$ (уже исключён) или $a=3$. Проверка: $x^2+2x+1=(x+1)^2=0$, $x=-1$ — одно.

Шаг 4. Ответ: $a=3$.

Типичные ошибки.
1. Пропускают $A=0$ — квадратное вырождается в линейное, которое может дать решение.
2. «Ровно одно» путают с «$D=0$» — при $D>0$ один корень может не подходить по ОДЗ, давая ровно одно решение.
3. Не проверяют ОДЗ при подстановке $a$ — корень $x=a$ может не входить в ОДЗ при конкретном $a$.
4. Графический подход без экстремумов — рисуют «примерно», не находя точных значений.

Дальше. Неравенства и системы с параметром — соседние карточки и №18 в тренажёре.