Неравенства с параметром

Зачем это в ЕГЭ. Задание №18, 4 первичных балла. Неравенства с параметром: множество решений по $x$ зависит от $a$. Типичные вопросы: «при каких $a$ неравенство выполняется для всех $x$ из отрезка», «найти все $a$, при которых множество решений содержит ровно три целых числа».

Главная идея. Метод интервалов с параметром: критические точки зависят от $a$, их взаимное расположение меняется. Разбить задачу на случаи по $a$; для каждого случая решить по $x$ стандартным методом интервалов. Альтернатива: в плоскости $(x,a)$ нарисовать кривые $f(x,a)=0$ и определить области знака.

Алгоритм (чеклист).
1. ОДЗ по $x$ и по $a$ (если есть логарифмы, дроби, корни, зависящие от обоих).
2. Привести к виду $F(x,a)\gtrless 0$; разложить $F$ на множители, зависящие от $a$ и $x$.
3. На числовой оси по $x$ расставить критические точки (зависящие от $a$); разбить по расположению: $a<2$, $a=2$, $a>2$ и т.д.
4. Для каждого случая — интервальная таблица; записать ответ по $x$.
5. Если вопрос «при каких $a$» — из ответа по $x$ извлечь условие на $a$.

Опоры (кратко).
- $(x-a)(x-b)\le0$: при $a<b$ решение $[a,b]$; при $a>b$ — $[b,a]$; при $a=b$ — $\{a\}$.
- При умножении на выражение, зависящее от $a$, разбивать по знаку этого выражения.

Пример 1 (расположение корней). $(x-a)(x-2)\le0$. Решить по $x$ в зависимости от $a$.

Шаг 1. Корни: $x=a$ и $x=2$. Неравенство нестрогое — включаем оба.

Шаг 2. При $a<2$: ответ $[a,2]$. При $a=2$: $(x-2)^2\le0\Rightarrow x=2$. При $a>2$: ответ $[2,a]$.

Шаг 3. Краткая запись: решение $[\min(a,2),\max(a,2)]$.

Пример 2 (неравенство для всех $x$). При каких $a$ неравенство $x^2-2ax+a+2>0$ выполняется для всех $x\in\mathbb{R}$?

Шаг 1. Это квадратный трёхчлен с $A=1>0$ (ветви вверх). Всюду $>0\;\Leftrightarrow\; D<0$.

Шаг 2. $D=4a^2-4(a+2)=4(a^2-a-2)=4(a-2)(a+1)<0$.

Шаг 3. $(a-2)(a+1)<0\;\Rightarrow\;-1<a<2$. Ответ: $a\in(-1,2)$.

Шаг 4. Проверка: $a=0$: $x^2+2>0$ — верно; $a=3$: $D=4\cdot4>0$ — есть корни, не для всех.

Типичные ошибки.
1. Умножают на $a$ без разбора знака — при $a<0$ знак обращается.
2. Теряют случай «равенство на границе» — нестрогое неравенство включает точки, где $F=0$.
3. Путают «для всех $x$» и «существует $x$» — разные задачи: «$\forall x$» $\Leftrightarrow$ $D<0$; «$\exists x$» $\Leftrightarrow$ множество решений непусто.
4. Не разбирают взаимное расположение — корни $a$ и $2$ могут стоять в любом порядке.

Дальше. Системы с параметром и полные №18 в тренажёре.