Системы с параметром

Зачем это в ЕГЭ. Задание №18, 4 первичных балла. Системы с параметром — пересечение двух кривых, одна (или обе) зависит от $a$: парабола и прямая, окружность и прямая, модульные выражения. Нужно найти все $a$, при которых система имеет заданное число решений.

Главная идея. Геометрический подход: в $(x,y)$ каждое уравнение — кривая; параметр $a$ «двигает» одну (сдвиг, поворот, изменение радиуса). Число решений = число точек пересечения. Аналитический: подстановка одного уравнения в другое даёт уравнение по одной переменной с параметром.

Алгоритм (чеклист).
1. Определить геометрию каждого уравнения: прямая, парабола, окружность $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$, гипербола.
2. Что делает параметр: $y=x+a$ — сдвиг прямой; $x^2+y^2=a^2$ — изменение радиуса; $(x-a)^2+y^2=1$ — сдвиг центра.
3. Подставить одно в другое, получить уравнение по $x$ (или $y$) с $a$; разобрать по $D$ или методом интервалов.
4. Для окружности и прямой: $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$; $d<R$ — две точки, $d=R$ — касание, $d>R$ — нет.
5. Собрать ответ по $a$; проверить граничные значения.

Опоры (кратко).
- Окружность и прямая: расстояние $d$ vs радиус $R$.
- Парабола и прямая: подстановка даёт квадратное; $D=0$ — касание.
- Модуль: $|f(x,y)|=g(a)$ — при $g<0$ нет решений, при $g=0$ — $f=0$, при $g>0$ — два случая.

Пример 1 (окружность и прямая). $\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=x+a\end{cases}$. Найти все $a$, при которых ровно две точки пересечения.

Шаг 1. Подстановка $y=x+a$: $x^2+(x+a)^2=4$, $2x^2+2ax+a^2-4=0$.

Шаг 2. $D=4a^2-8(a^2-4)=-4a^2+32=4(8-a^2)$.

Шаг 3. $D>0\;\Leftrightarrow\; a^2<8\;\Leftrightarrow\; |a|<2\sqrt{2}$. Ответ: $a\in(-2\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$.

Шаг 4. Геометрически: $d=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$; $d<R=2\;\Leftrightarrow\; |a|<2\sqrt{2}$ — совпало.

Пример 2 (парабола и прямая, касание). $\begin{cases}y=x^2\\y=2x+a\end{cases}$. При каком $a$ ровно одно решение?

Шаг 1. $x^2=2x+a$, $x^2-2x-a=0$. $D=4+4a$.

Шаг 2. $D=0\;\Leftrightarrow\; a=-1$. Тогда $x=1$, $y=1$.

Шаг 3. При $a<-1$: $D<0$, нет решений; при $a>-1$: два решения.

Пример 3 (линейная система). $\begin{cases}ax+y=1\\x+ay=1\end{cases}$.

Шаг 1. $\Delta=a^2-1$. При $a\ne\pm1$: единственное решение $x=y=\frac{1}{a+1}$.

Шаг 2. При $a=1$: $x+y=1$ — бесконечно много. При $a=-1$: $-x+y=1$ и $x-y=1$ — несовместна.

Типичные ошибки.
1. Подстановку проводят неаккуратно — раскрывают $(x+a)^2$ с ошибкой.
2. Путают число решений системы и корней вспомогательного — если подстановка однозначная, совпадают.
3. Забывают граничное $a$ — при $D=0$ решение одно, а не ноль.
4. При линейных системах не разбирают $\Delta=0$ — бесконечно много или нет решений.

Дальше. Полные задачи с параметром №18 в тренажёре.