Степени и корни

Зачем это в ЕГЭ. В задании №7 без уверенного обращения со степенями и корнями не уложиться во время: нужно сокращать показатели, переводить корни в степени и не ломать ОДЗ.

Главная идея. $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^m a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ($a>0$ для произвольных показателей). Корень: $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$; $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ при $a>0$.

Алгоритм (чеклист).
1. Привести все основания к простым «кирпичикам» (часто $2$, $3$) или вынести степень из-под корня.
2. Степень степени — умножать показатели; не складывать их с суммой показателей при умножении оснований.
3. Чётный корень из выражения — следить за знаком подкоренного; кубический корень определён для любого вещественного.

Опоры (кратко). $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$; $(ab)^n=a^n b^n$ при стандартных ОДЗ.

Пример 1 (степень степени). Вычислить $(2^{1/2})^4$.

Шаг 1. $(2^{1/2})^4=2^{(1/2)\cdot4}=2^2$.

Шаг 2. $2^2=4$.

Шаг 3. Проверка: $(\sqrt{2})^4=(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^2=2\cdot2=4$.

Пример 2 (корень и степень). Упростить $\sqrt[3]{8\cdot27}$.

Шаг 1. $\sqrt[3]{8\cdot27}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3$.

Шаг 2. Ответ $6$.

Шаг 3. Проверка: $6^3=216=8\cdot27$.

Типичные ошибки. Путают $(a^m)^n$ и $a^{m+n}$; забывают про чётность корня; «сокращают» показатели при разных основаниях.

Дальше. Тренажёр №7 — другие выражения, те же правила.