Логарифмические выражения

Зачем это в ЕГЭ. В задании №7 логарифмы превращают сложное выражение в короткую цепочку: сумма/разность логарифмов, вынесение степени, переход к другому основанию.

Главная идея. $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^k=k\log_a x$ ($x,y>0$, $a>0$, $a\ne1$). $\log_a b=c\Leftrightarrow a^c=b$.

Алгоритм (чеклист).
1. Упростить аргументы (разложить на множители, вынести степень).
2. Привести все логарифмы к одному основанию, если в выражении разные основания.
3. Свести к числу через $\log_a a=1$, $\log_a 1=0$ и табличные значения.

Опоры (кратко). $\log_{a^2} b=\frac{1}{2}\log_a b$; $\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$.

Пример 1 (сумма). Найти $\log_6 12+\log_6 3$.

Шаг 1. $\log_6 12+\log_6 3=\log_6(12\cdot3)=\log_6 36$.

Шаг 2. $36=6^2$, значит $\log_6 36=2$.

Шаг 3. Проверка: $6^2=36$ — верно.

Пример 2 (разность и степень). Найти $\log_5 250-\log_5 2$.

Шаг 1. $\log_5 250-\log_5 2=\log_5\frac{250}{2}=\log_5 125$.

Шаг 2. $125=5^3$, значит $\log_5 125=3$.

Шаг 3. Проверка: $5^3=125$ — верно.

Типичные ошибки. $\log(A+B)\ne\log A+\log B$; путают $\log_a b$ и $\log_b a$; забывают ОДЗ аргументов.

Дальше. Отработай переход между основаниями в тренажёре.