Зачем это в ЕГЭ. Задание №7 часто сводится к упрощению тригонометрического выражения без калькулятора: основное тождество, формулы сложения и двойного угла, приведение к острым углам.
Главная идея. sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 sin 2 α + cos 2 α = 1 sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin 2 α = 2 sin α cos α \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α
Алгоритм (чеклист). 0 0 0 π 2 \frac{\pi}{2} 2 π sin 2 \sin^2 sin 2 1 − cos 2 1-\cos^2 1 − cos 2 sin \sin sin cos \cos cos 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
Опоры (кратко). sin 30 ∘ = 1 2 \sin30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 60 ∘ = 1 2 \cos60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 45 ∘ = cos 45 ∘ = 2 2 \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = cos 4 5 ∘ = 2 2
Пример 1 (основное тождество). Угол α \alpha α sin α = 3 5 \sin\alpha=\frac{3}{5} sin α = 5 3 cos α \cos\alpha cos α
Шаг 1. sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − 9 25 = 16 25 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − 25 9 = 25 16
Шаг 2. cos α = ± 4 5 \cos\alpha=\pm\frac{4}{5} cos α = ± 5 4 α \alpha α cos α = 4 5 \cos\alpha=\frac{4}{5} cos α = 5 4
Шаг 3. Проверка: ( 3 5 ) 2 + ( 4 5 ) 2 = 1 \left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 ( 5 3 ) 2 + ( 5 4 ) 2 = 1
Пример 2 (синус суммы). Вычислить sin 75 ∘ \sin75^\circ sin 7 5 ∘ sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) \sin(45^\circ+30^\circ) sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ )
Шаг 1. sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = sin 45 ∘ cos 30 ∘ + cos 45 ∘ sin 30 ∘ \sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘
Шаг 2. Подставляем: 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 2 2 ⋅ 3 + 1 2 \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2} 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 2 2 ⋅ 2 3 + 1
Шаг 3. Упростим: sin 75 ∘ = 6 + 2 4 \sin75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} sin 7 5 ∘ = 4 6 + 2
Типичные ошибки. Неверные знаки в cos ( α + β ) \cos(\alpha+\beta) cos ( α + β ) cos \cos cos
Дальше. Тренажёр №7 — цепочки преобразований с теми же приёмами.